EKSPONEN DAN LOGARITMA

EKSPONEN DAN LOGARITMA

A.    PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN

Dalam pelajaran kelas X, telah dipelajari perpangkatan/eksponen  bilangan bulat. Untuk mempelajari bab ini kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat rasional. Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut :

1.                                 7.

2.                                8.

3.                                   9.

4.                               10.

5.                                11.

6.

Di kelas XI ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi disebut fungsi eksponen.

Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.

B.  Persamaan fungsi eksponen dan penerapannya

1. Bentuk          

    Jika  dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = 0

          Seperti apakah contoh dan cara menyelesaikan persamaan fungsi eksponenberbrntuk = 1? Ya,perlu kalian ketahui bahwa: = 1, dengan > 0 dan a  0, maka = 0. Perhatikan contoh berikut ini!

Contoh 7.1

Tentukan himpunan penyelesaikan dari :uu

1. 3= 1
2. 

  Jawab:

a.       3^5x-10  = 1

     3^5x-10  = 3⁰

            5x-10 = 0  

            5x      = 10

         X      =  2

       b.

        

        

         (2x+5) (x-1) = 0

          2x+5=0      x-1=0

          X      =-     x= 1

2. Bentuk

    Jika dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = p

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

 a.

 b.

 c.

Jawab :

a.

   

    2x-1 = 3

     2X   = 4

       X   = 2

b.

   

     2x-7 = -5

     2x    = 2

       X    = 1

c.

    

    

     

      3x-10 = -5

      3x      = 5

        X      =

Latihan 1 :

1.

2.

3.               

4.

5.

3. Bentuk a^f(x) = a^g(x)

    Jika a^f(x) = a^g(x) dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = g(x)

   

     Contoh :

a.

b. 25^X+2= (0,2)^1-X

c.

Jawab:

a.

   

      2(x²+x) = 3(x²-1)

   2x²+2x = 3x²-3

   X² – 2x – 3 = 0

   (x – 3) (x + 1) = 0

   X = 3        x = -1

   Jadi HP= { -1, 3 }

c .           3(x-4) = 5(x+2)    3x-12 = 5x+10    -2x = 22     X   = -11    Jadi HP = { -11 }

b. 25^X+2= (0,2)^1-X

    5 ^2(X+2) = 5 ^-1(1-X)

    2x + 4 = -1 +x

    2x – x = -1 - 4

           X = -5

    Jadi HP = { -5 }

4.  Bentuk

Jika  dengan a>0 dan a≠1, b>0 dan b≠1, dan a≠b maka f(x) =0

Contoh :

a.

b.

Jawab:

	b.      x2-5x+6 = 0     (x-6)(x+1) = 0     X = 6       x = -1     Jadi HP =  { -1,6 }

 

a.

      x-3 = 0

      x    = 3

         Jadi HP =  { 3 }

    Latihan 2 :

   1.

   2.

   3.

   4.

   5.

5. Bentuk

    Dengan memisalkan a^f(x) = p, maka bentuk persamaan di atas dapat

    diubah menjadi persamaan kuadrat :  Ap² + Bp + C =0

    Contoh :

a.       2^2x - 2^x+3 +16 = 0

    Jawab :

    2^2x - 2^x+3 +16 = 0

    2^2x – 2 ^x.2³ +16 = 0

    Dengan memisalkan 2^x = p, maka persamaan menjadi

    P² – 8p + 16 = 0

    (p – 4)(p – 4) = 0

     P = 4

    Untuk p = 4  2^x = 4

                           2^x = 2²

                           X  = 2

    Jadi HP = { 2 }

LOGARITMA

Pengertian logaritma sebagai invers ( kebalikan) dari perpangkatan, dapat dijelaskan melalui pembahasan berikut ini :

Contoh :

a.       2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2  = 16

b.      10³ = 10 x 10 x 10 = 1.000

Dari contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui maka dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Nah!  Permasalahannya adalah bagaimana cara menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui:

Misal :

a.       Berapa n, jika 2ⁿ = 16

b.      Berapa x, jika 10^x = 1.000

Jawaban permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang disebut logaritma. Nilai n atau x tersebut ditentukan sebagai berikut :

a.       2ⁿ = 16 maka n = ²log 16 = ²log 2⁴ = 4

b.      10^x = 1.000 maka x = ¹⁰log 1.000 = ¹⁰log 10³ = 3

Sekarang terlihat bahwa antara logaritma dan perpangkatan terdapat hubungan, yaitu bahwa logaritma merupakan invers ( kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut :

Definisi :

Logaritma suatu bilangan x dengan bilangan pokok a ( ditulis ^alog x) adalah eksponen bilangan berpangkat yang menghasilkan x jika a dipangkatkan dengan eksponen itu.

Dirumuskan :

 ^alog x = n artinya x = aⁿ         untuk a > 0 ; a ≠ 1 dan x > 0

a disebut bilangan pokok

x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan  x > 0

n disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis

      Untuk lebih memahami konsep ini ikutilah contoh – contoh berikut ini dengan teliti agar kamu tidak menemui hambatan di kemudian hari .

Contoh 1.

1.      Nyatakan dalam bentuk logaritma:

a.       3⁴ = 81

b.        =

c.       0,001 = 10^-3

Jawab:

a.       3⁴ = 81 Û ³log 81 = 4

b.        =  Û ² log   =

c.       0,001 = 10^-3    Û   ¹⁰log 0,001 = -3

2.      Nytakan dalam bentuk pangkat

a.       ⁵log 25 = 2

b.      ³log  = -3

c.       ^alog b = c

Jawab :

a.       ⁵log 25 = 2 Û 25 = 5²

b.      ³log  = -3 Û  = 3^-3

c.       ^alog b = c Û b = a^c

3.      Tentukan nilai logaritma berikut!

a.       ²log 32

b.      ³log 3 

c.       ²log

Jawab :

a.       ²log 32 = ²log 2⁵ = 5

b.      ³log 3 = ³log  = 1

c.       ²log  = ²log  =

a.      Sifat-sifat logaritma

Ada 7 sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan logaritma yaitu :

Sifat 1

^alog x + ^alog y = ^alog xy

Contoh :

Sederhanakanlah !

a.       ²log 4 + ²log 8

b.      ³log  + ³log 81

c.       ²log + ²log

Jawab :

a.       ²log 4 + ²log 8 = ²log 4 . 8 = ²log 32 = 5

b.      ³log  + ³log 81= ³log  . 81 = ³log 9 = 2

c.       ²log  + ²log  = ²log  . = ²log 16 = 4

Sifat 2

^alog x – ^alog y = ^alog                                                                                                                            

Contoh:

Sederhanakanlah!

a.       ²log 16 – ² log 8

b.      log 1.000 – log 100

c.       ³log 18 – ³log 6

Jawab :

a.       ²log 16 – ² log 8 =  ²log   = ²log 2 = 1

b.      log 1.000 – log 100 = log  = log 10 = 1

c.       ³log 18 – ³log 6 = ³log  = 1

Sifat 3

 ^alog xⁿ = n . ^alog x

Contoh :

Sederhanakan!

a.       2 log 3 + 4 log 3

b.      2 log a + 2 log b

Jawab:

a.       2 log 3 + 4 log 3 = log 3² + log 3⁴

   = log 9 + log 81

   = log 9 . 81

   = log 729

b.      2 log a + 2 log b = log a² + log b²

   = log a² . b²

   = log (ab)²

                           Ingat : 1. log ²x = log x . log x = (log x)²

log x² = 2 log x

Jadi log ²x ≠ log x²

2. Log ^-1x =

Log x^-1 = log   = -log x

Jadi  log ^-1x ≠ log x^-1

Sifat 4                

a.       ^alog x =           

b.      ^glog a =

Contoh :

³log 7  x  ⁷log 81

Jawab :

a.       ³log 7  x  ⁷log 81  =  

   = 

   = 

   =  = 4

b.      ³log 7  x  ⁷log 81 =

=

=   = 4

Sifat 5

= x

Contoh :

a.      

b.     

Jawab :

 a.   = = 5² = 25

                   b   = = = 

Sifat 6

Perhatikan uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini :

a.       a

b.      Jika m = n maka diperoleh  :

Sehingga dapat disimpulkan bahwa :

Untuk p dan a bilangan real positif p ≠ 1 maka :

Jika numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya tetap.

Contoh :

Hitunglah !

1.      ⁸log 16

2.      ⁸log 64

3.      Jika ³log 5 = a hitunglah  ²⁵log 27

Jawab :

1.      ⁸log 16 =  = =  =

2.      ⁸log 64 = 

3.      ³log 5 = a, maka :

²⁵log 27 =  

Sifat 7

Perhatikan uraian dibawah ini!

Misalkan n = ^plog a, maka a = pⁿ, oleh karena n = ^plog a, maka pⁿ =  = a (karena a = pⁿ) sehingga disimpulkan :

Untuk p dan a bilangan real p ≠ 1 maka  = a

  Contoh :

Sederhanakan !

a.        

b.        

c.      

Jawab :

a.        =  = x²

b.         =  =  = a²

c.        =  

                     =  

                     =  

                     =                                      = 2 x

                     =                                            =           

                     =                                                     sifat 7

                     =                                                  mengubah eksponen ke akar

b.      Menggunakan Tabel Logaritma

1)      Mencari hasil logaritma menggunakan daftar logaritma

N	0  1  2	3  4  5  6	7  8  9
0 . . 721			.8530

log 721,8 = 2,8530

log 72,18 = 1,8530

log 7,218 = 0,830

Hasil penghitungan logaritma dari satu bilangan akan diperoleh bagian desimal. Bagian bulat di sebut karakteristik/induk yang diperoleh dari perhitungan, sedang bagian desimal disebut matise diperoleh dari tabel logaritma. Bilangan pokok pada daftar adalah 10.

Untuk menentukan logaritma bilangan yang lebih besar dari 10 atau antara 0 dan 1 dapat dilakukan dengan cara bilangan itu diubah dalam bentuk baku : a x 10ⁿ, dengan 1 £ a £10 dan n bilangan bulat, sehingga :

log (a x 10ⁿ) = log a + log 10ⁿ

                     = n + log a

Contoh :

1. log 34.000 =    log (3,4 x 10⁴)

                           =    log 3,4 + log 10⁴          ® dari tabel log 3,4 = 0,5315

                           =    0,5315 + 4

                           =    4,5315

2. log 0,284 =      log (2,84 x 10^-2)

                           =    log 2,84 + log 10^-2       ® dari tabel log 2,84 = 0,4533

                           =    0,4533 – 2

2)      Anti Logaritma

Yaitu mencari bilangan logaritma jika diketahui hasil logaritma

Contoh :

N	0  1  2	3  4  5  6	7  8  9
0 . . 721		.8759

Log x = 0,8759    Û        x = 7,515

Contoh :

Carilah nilai x dengan menggunakan daftar logaritma dari 2^x = 10

Jawab :

log 2^x          =          log 10  Dari daftar

x log 2      =          log 10  log 2 = 0,3010

x   =         

 x  =         

               »    3,322

c.       Operasi pada Logaritma

1)      Operasi Perkalian

log (a x b) = log a + log b

Contoh:

Hitunglah 6,28 x 2,536

Jawab:

Jika p = 6,28 x 2,536

log p = log (6,28 x 2,536)

log p = log 6,28 + log 2,536 = 1,2021

Jadi, p = Antilog 1,2021 = 15,926

2)      Operasi Pembagian

Contoh :

Hitunglah 325,6 : 48,5

Jawab:

Jika p = 325,6 : 48,5

log p = log (325,6 : 48,5)

log p = log 325,6 – log 48,5

    = 2,5127 – 1,6857

    = 0,8270

Jadi, p = antilog 0,8270 = 6,7

3)      Operasi Akar dan Pangkat

·        

·        

Contoh

Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan nilai dari soal-soal berikut.

a.      

b.     

Jawab :

a.       Jika p = 5⁸

Log p = log 5⁸

          = 8.log 5

Log p = 8.0,699 = 5,592

 Jadi, p = antilog 5,592 = 390800

c.       Jika p =  ,maka

 log p = log

          =(log 47,32 – 18,6)

                                      =(1,6750 – 1,1643)

                                   = (0,5107) = 0,2553

Jadi, p = anti log 0,2553 = 1,8001