EKSPONEN DAN LOGARITMA
A.
PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN
Dalam
pelajaran kelas X, telah dipelajari perpangkatan/eksponen bilangan bulat. Untuk mempelajari bab ini
kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat rasional. Jika a dan b
bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut
:
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6.
Di kelas XI ini akan lebih mendalami
tentang perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi. Bentuk
perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi disebut fungsi eksponen.
Fungsi eksponen banyak manfaatnya
dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan radioaktif, pertumbuhan tanaman,
perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.
B. Persamaan fungsi eksponen dan
penerapannya
1. Bentuk
Jika dengan a>0 dan a≠0
, maka f(x) = 0
Seperti apakah contoh dan cara
menyelesaikan persamaan fungsi eksponenberbrntuk = 1? Ya,perlu kalian ketahui bahwa: = 1, dengan > 0 dan a 0, maka = 0. Perhatikan contoh berikut ini!
Contoh 7.1
Tentukan himpunan
penyelesaikan dari :uu
- 3= 1
Jawab:
a.
35x-10 = 1
35x-10 = 30
5x-10 = 0
5x = 10
X
= 2
b.
(2x+5) (x-1) = 0
2x+5=0 x-1=0
X
=- x= 1
2.
Bentuk
Jika dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = p
Contoh :
Tentukan himpunan
penyelesaian dari:
a.
b.
c.
Jawab :
a.
2x-1 = 3
2X
= 4
X
= 2
b.
2x-7 = -5
2x
= 2
X
= 1
c.
3x-10 = -5
3x
= 5
X
=
Latihan 1 :
1.
2.
3.
4.
5.
3. Bentuk af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x)
dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = g(x)
Contoh :
a.
b. 25X+2=
(0,2)1-X
c.
Jawab:
a.
2(x2+x) = 3(x2-1)
2x2+2x = 3x2-3
X2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
X = 3
x = -1
Jadi HP= { -1, 3 }
c .
3(x-4) = 5(x+2)
3x-12 = 5x+10
-2x = 22
X
= -11
Jadi HP = { -11 }
|
|
b. 25X+2= (0,2)1-X
5 2(X+2) = 5 -1(1-X)
2x + 4 = -1 +x
2x – x = -1 - 4
X = -5
Jadi HP = { -5 }
4. Bentuk
Jika dengan a>0 dan a≠1,
b>0 dan b≠1, dan a≠b maka f(x) =0
Contoh :
a.
b.
Jawab:
|
|
b.
x2-5x+6 = 0
(x-6)(x+1) = 0
X = 6 x = -1
Jadi HP = {
-1,6 }
|
|
a.
x-3 = 0
x
= 3
Jadi HP = { 3 }
Latihan 2 :
1.
2.
3.
4.
5.
5. Bentuk
Dengan memisalkan af(x)
= p, maka bentuk persamaan di atas dapat
diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap2 + Bp + C =0
Contoh :
a. 22x - 2x+3 +16
= 0
Jawab :
22x
- 2x+3 +16 = 0
22x
– 2 x.23 +16 = 0
Dengan memisalkan 2x = p, maka persamaan menjadi
P2
– 8p + 16 = 0
(p
– 4)(p – 4) = 0
P
= 4
Untuk p = 4 2x = 4
2x = 22
X = 2
Jadi HP = { 2 }
LOGARITMA
Pengertian logaritma sebagai invers (
kebalikan) dari perpangkatan, dapat dijelaskan melalui pembahasan berikut ini :
Contoh
:
a.
24
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16
b.
103
= 10 x 10 x 10 = 1.000
Dari
contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui
maka dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Nah! Permasalahannya adalah bagaimana cara
menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui:
Misal
:
a.
Berapa
n, jika 2n = 16
b.
Berapa
x, jika 10x = 1.000
Jawaban
permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang disebut logaritma.
Nilai n atau x tersebut ditentukan sebagai berikut :
a.
2n
= 16 maka n = 2log 16 = 2log 24 = 4
b.
10x
= 1.000 maka x = 10log 1.000 = 10log 103
= 3
Sekarang terlihat bahwa antara logaritma dan
perpangkatan terdapat hubungan, yaitu bahwa logaritma merupakan invers (
kebalikan) dari perpangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut :
Definisi :
Logaritma suatu bilangan x dengan bilangan pokok a ( ditulis alog
x) adalah eksponen bilangan berpangkat yang menghasilkan x jika a dipangkatkan
dengan eksponen itu.
Dirumuskan
:
alog x = n artinya x
= an untuk a > 0 ;
a ≠ 1 dan x > 0
a
disebut bilangan pokok
x disebut
bilangan logaritma atau numerus dengan x
> 0
n
disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis
Untuk lebih
memahami konsep ini ikutilah contoh – contoh berikut ini dengan teliti agar
kamu tidak menemui hambatan di kemudian hari .
Contoh 1.
1.
Nyatakan
dalam bentuk logaritma:
a.
34
= 81
b.
=
c.
0,001
= 10-3
Jawab:
a.
34
= 81 Û 3log
81 = 4
c.
0,001
= 10-3 Û
10log 0,001 = -3
2.
Nytakan
dalam bentuk pangkat
a.
5log 25 = 2
b.
3log = -3
c.
alog b = c
Jawab :
a.
5log 25 = 2 Û 25 = 52
b.
3log = -3 Û = 3-3
c.
alog b = c Û
b = ac
3.
Tentukan
nilai logaritma berikut!
a.
2log 32
b.
3log 3
c.
2log
Jawab
:
a.
2log 32 = 2log 25 =
5
a.
Sifat-sifat logaritma
Ada
7 sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah
yang berkaitan dengan logaritma yaitu :
Sifat
1
alog x + alog
y = alog xy
Contoh
:
Sederhanakanlah
!
a.
2log 4 + 2log 8
b.
3log + 3log 81
c.
2log + 2log
Jawab
:
a.
2log 4 + 2log 8 = 2log
4 . 8 = 2log 32 = 5
b.
3log + 3log 81= 3log
. 81 = 3log
9 = 2
c.
2log + 2log = 2log . = 2log 16 = 4
Sifat
2
alog x – alog
y = alog
Contoh:
Sederhanakanlah!
a.
2log 16 – 2 log 8
b.
log
1.000 – log 100
c.
3log 18 – 3log 6
Jawab
:
a.
2log 16 – 2 log 8 = 2log = 2log 2 =
1
b.
log
1.000 – log 100 = log = log 10 = 1
c.
3log 18 – 3log 6 = 3log
= 1
Sifat
3
alog xn = n . alog x
Contoh
:
Sederhanakan!
a.
2
log 3 + 4 log 3
b.
2
log a + 2 log b
Jawab:
a.
2
log 3 + 4 log 3 = log 32 + log 34
= log 9 + log 81
= log 9 . 81
= log 729
b.
2
log a + 2 log b = log a2 + log b2
= log a2 . b2
= log (ab)2
Ingat : 1. log 2x = log x . log x
= (log x)2
log x2 = 2 log x
Jadi log 2x ≠ log x2
2. Log -1x =
Log x-1 = log = -log x
Jadi log -1x
≠ log x-1
Sifat
4
a.
alog
x =
b.
glog
a =
Contoh
:
3log 7 x 7log
81
Jawab
:
a.
3log 7
x 7log 81 =
=
=
= = 4
b.
3log 7
x 7log 81 =
=
= = 4
Sifat
5
= x
Contoh
:
a.
b.
Jawab
:
a. = = 52 = 25
Sifat
6
Perhatikan
uraian berikut untuk menunjukkan sifat 6 logaritma ini :
a.
a
b.
Jika
m = n maka diperoleh :
Sehingga
dapat disimpulkan bahwa :
Untuk
p dan a bilangan real positif p ≠ 1 maka :
Jika
numerus dan bilangan pokok dipangkatkan dengan bilangan yang sama maka hasilnya
tetap.
Contoh
:
Hitunglah
!
1.
8log 16
2.
8log 64
3.
Jika
3log 5 = a hitunglah 25log
27
Jawab
:
2.
8log 64 =
3.
3log 5 = a, maka :
25log 27 =
Sifat
7
Perhatikan
uraian dibawah ini!
Misalkan
n = plog a, maka a = pn, oleh karena n = plog
a, maka pn = = a (karena a =
pn) sehingga disimpulkan :
Untuk
p dan a bilangan real p ≠ 1 maka = a
Contoh :
Sederhanakan
!
a.
b.
c.
Jawab :
a.
=
= x2
c.
=
=
=
= sifat
7
= mengubah
eksponen ke akar
b.
Menggunakan Tabel Logaritma
1)
Mencari hasil
logaritma menggunakan daftar logaritma
N
|
0 1 2
|
3 4
5 6
|
7 8 9
|
0
.
.
721
|
|
|
|
log
721,8 = 2,8530
log
72,18 = 1,8530
log
7,218 = 0,830
Hasil penghitungan logaritma dari satu bilangan akan
diperoleh bagian desimal. Bagian bulat di sebut karakteristik/induk yang
diperoleh dari perhitungan, sedang bagian desimal disebut matise diperoleh dari
tabel logaritma. Bilangan pokok pada daftar adalah 10.
Untuk menentukan logaritma bilangan yang lebih besar dari
10 atau antara 0 dan 1 dapat dilakukan dengan cara bilangan itu diubah dalam
bentuk baku : a x 10n, dengan 1 £ a £10 dan n bilangan bulat, sehingga :
log (a x 10n) = log a + log 10n
=
n + log a
Contoh :
1. log 34.000 = log
(3,4 x 104)
=
log 3,4 + log 104 ® dari tabel log 3,4 = 0,5315
= 0,5315 + 4
= 4,5315
2. log 0,284 = log
(2,84 x 10-2)
= log 2,84 + log 10-2 ® dari tabel log 2,84 = 0,4533
= 0,4533 – 2
2)
Anti
Logaritma
Yaitu mencari bilangan logaritma jika diketahui hasil
logaritma
Contoh
:
N
|
0 1 2
|
3 4
5 6
|
7 8 9
|
|
|
|
|
0
.
.
721
|
|
|
|
Log
x = 0,8759 Û x
= 7,515
Contoh
:
Carilah nilai x dengan menggunakan daftar logaritma dari
2x = 10
Jawab :
log 2x = log 10 Dari
daftar
x log 2 = log 10 log
2 = 0,3010
x =
x =
» 3,322
c.
Operasi pada Logaritma
1)
Operasi
Perkalian
log
(a x b) = log a + log b
Contoh:
Hitunglah
6,28 x 2,536
Jawab:
Jika
p = 6,28 x 2,536
log
p = log (6,28 x 2,536)
log
p = log 6,28 + log 2,536 = 1,2021
Jadi,
p = Antilog 1,2021 = 15,926
2)
Operasi
Pembagian
Contoh
:
Hitunglah
325,6 : 48,5
Jawab:
Jika
p = 325,6 : 48,5
log
p = log (325,6 : 48,5)
log
p = log 325,6 – log 48,5
= 2,5127 – 1,6857
= 0,8270
Jadi,
p = antilog 0,8270 = 6,7
3)
Operasi
Akar dan Pangkat
·
·
Contoh
Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan
nilai dari soal-soal berikut.
a.
b.
Jawab
:
a.
Jika
p = 58
Log
p = log 58
= 8.log 5
Log
p = 8.0,699 = 5,592
Jadi,
p = antilog 5,592 = 390800
c.
Jika
p = ,maka
log p = log
=(log 47,32 – 18,6)
=(1,6750 – 1,1643)
= (0,5107) = 0,2553
Jadi, p = anti log 0,2553 = 1,8001