SISTEM PERSAMAAN LINIER

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sebelum masuk ke pengertian system persamaan linier, terlebih dahulu akan dibahas hal ini:

Berbicara tentang Matematika, kita mengenal logika atau cara berfikir menggunakan kalimat matematika. Kalimat Matematika ada dua, yaitu: Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup. Lalu, apa yang dimaksud dengan Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup?

1. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah atau variable, sehingga belum dapat di tentukan benar atau salahnya.
Sebuah kalimat terbuka berubah menjadi pernyataan bila peubahnya diganti oleh suatu anggota semesta pembicaraan. Anggota semesta pembicaraan yang bila menggantikan peubah dalam suatu kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut. Himpunan yang terdiri dari semua penyelesaian suatu kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian kalimat terbuka tersebut.
Contoh :
a. Air laut warnanya hijau
b. X + 4 = 8
2. Kalimat tertutup
Kalimat tertutup adalah kalimat pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti.
Contoh :
a. 5 + 5 = 10
b. Agnes Monica adalah seorang wanita

Setelah memahami konsep di atas, maka, kita akan masuk ke materi system persamaan linier.

Pengertian

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta denganvariabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius. Atau dapat juga dipahami bahwa Persamaan linear adalah persamaan yang variabelnya paling banyak berpangkat satu.

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x³, y^1/2, dan  bukanlah persamaan linear

Setelah mengetahui pengertian dari system persamaan linier, maka, selanjutnya akan kita bahas jenis dari system persamaan linier.

System persamaan linier, dapat dibedakan menjadi dua, yaitu:

a.      System persaman linier satu variable

Persamaan Linier adalah Kalimat Terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan Variabelnya berpangkat satu.

Bentuk umum

ax + b = c   0 , x = perubah

System persamaan linear  1 variable adalah persamaan linear yang menggunakan satu variable.

Contoh :

5x + 7 = 17           => variable yang digunakan adalah variable x.

12y + 3 = 15         => variable yang digunakan adalah variable y.

6r = 2 + 4              => variable yang digunakan adalah variable r.

Berikut contoh soalnya

Contoh :

a.       8 + 4p = 16

8 + 4p = 16

      4p = 16 – 8             (pindahkan ruas yang variablenya sama)

      4p = 8

        P = 8/4                  (bagi ruas kanan dengan konstanta p)

        P = 2

Jadi , nilai p = 3 dan himpunan penyelesaian, Hp = {2},

b.      5x + 3 = 3x + 5

5x + 3 = 3x + 5

5x – 3x = 5 – 3            (pindahkan ruas yang variablenya sama)

        2x = 2

         X = 2/2                 (bagi ruas kanan dengan konstanta x)

         X = 1

 Jadi , nilai x = 1 dan himpunan penyelesaian, Hp = {1},

c.       8r – 3 = 21

8r – 3 = 21

       8r = 21 + 3             (pindahkan ruas yang variablenya sama)

       8r = 24

        r = 24/8                  (bagi ruas kanan dengan konstanta r)

        r = 3

Jadi , nilai r = 3 dan himpunan penyelesaian, Hp = {3},

Penerapan Untuk Persamaan Linier dalam Sehari-hari

Contoh

Jumlah siswa kelas 2 adalah 40 siswa. Jika jumlah siswa laki-laki sebanyak 12 siswa, berapa jumlah siswa perempuan.

Jawab

a + 12 = 40
a = 40 -12
a = 28

b.      Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah:
ax + by = c 
dimana = x dan y adalah variable

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

dimana a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, dan c₂ adalah bilangan real
Catatan:

Setelah kita mengetahui bentuk umum dari system persamaan liniar dua variable, maka, pasti kita akan menemukan permasalahan matematika, yang penyelesaiannya membutuhkan system ini. Karena itu, perlu bagi kita untuk mengetahui bagaimana metode-metode penyelesaian soal dalam bentuk system persamaan liniar dua variable. Metodenya yaitu:

1. Metode grafik
2. Metode substitusi
3. Metode eliminasi
4. Metode gabungan substitusi-eliminasi

 Berikut penjelasannya:

1.      Metode grafik:
→ gambar grafik untuk tiap persamaan, cara paling mudah: masukkan x = 0, hitung nilai y untuk mendapatkan titik pertama; lalu masukkan y = 0, hitung nilai x untuk mendapatkan titik kedua
→ jika saat dimasukkan x = 0, didapatkan nilai y = 0, untuk mendapatkan titik kedua masukkan nilai x selain 0

2.      Metode substitusi:
Dari persamaan 1: 2x – y = 8 → 2x – 8 = y
Masukkan ke persamaan 2:
x + 2y = 14
x + 2.(2x – 8 ) = 14
x + 4x – 16 = 14
5x = 14 + 16
5x = 30
x = 30/5 = 6
y = 2x – 8 = 2.6 – 8 = 12 – 8 = 4
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}

3.      Metode eliminasi:
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Eliminasi y: (Persamaan 1 dikali 2)
4x – 2y = 16
  x + 2y = 14   +  (ditambah karena nilai y-nya positif dan negatif)
5x = 30
x = 30/5 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}

4.      Metode gabungan (eliminasi-substitusi)
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Masukkan ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 1:
2x – y = 8
2x – 4 = 8
2x = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}

5.      metode Determinan

Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi).

Untuk  menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan :

            ax + by = c

            px + qy = r

diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, D_x, D_y.

Dengan :          D  =  = aq – bp

                        D_x =  = cq – br

                        D_y =  = ar – cp

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :

            x =  dan y =

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

  dengan cara determinan !

Jawab:

            D  =  = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7

            D_x =  = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14

            D_y =  = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7

            x =  =  = 2

y =  =  = -1

Jadi HP = {(2, -1)}
c. sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

1. Bentuk Umum

ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r

                a, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q, r ÎR

                a, d, g = koefisien dari x

                b, e, h = koefisien dari y

                c, f, i  = koefisien dari z

                p, q, r = konstanta

                x, y, z = variabel

d.  Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, antara lain :

a.      Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

  dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !

Jawab:

 

Dari (1) dan (2) eliminir z

 x + y – z = 1

2x + y +z = 11 _

           3x + 2y = 12   ….. (4)

Dari (2) dan (3) eliminir z

2x + y +z = 11

x + 2y +z = 12 _

                x - y = -1   ….. (5)

Dari (4) dan (5) eliminir y

  

                                      5x = 10

                                        x = 2

x = 2 substitusi ke (5)

            x – y = -1

            2 – y = -1

            -y = -1 – 2

             y = 3

x = 2, y = 3 substitusi ke (1)

            x + y – z = 1

            2 + 3– z = 1    

                      -z = 1 – 5

                        z = 4

Jadi HP = {(2, 3, 4)}

b. Cara Determinan

Sistem persamaan :

diubah  menjadi bentuk susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, D_x, D_y, dan D_z.

                D =             D_x =            D_y =           D_z =

           

                        x =                        y =                        z =           

1) Determinan cara sarrus

                             -    -    - 

D =             = aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb

                            +    +    + 

2) Determinan cara cramer

 D =        =  a - b + c 

= a(ei-fh) – b(di-fg) + c(dh-eg)

= aie – afh – bdi + bfg + cdh – ceg

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

  dengan cara determinan !

Jawab:

                              -      -      - 

D =           = -4 + (-3) + 3 – (-2) – 18 - (-1) = -4 – 3 + 3 + 2 – 18 + 1                                      =  -19

                            +    +    + 

                              -      -      - 

D_x =         = (-10) + 0 + 27 – 0 – 45 - (-9) = -10 + 0 + 27 – 0 – 45 + 9                                            =  -19

                            +    +    +

                                     -     -     - 

D_y =                = 18 + 15 + 0 – 9 – 0 - 5 = 19

                            +    +    + 

                              -      -      - 

D_z =           = 0 + (-9) + 15 – (-10) – 54 - 0 = 0 - 9 + 15 +10 – 54 - 0                                     = -38

                            +    +    + 

x =  =  = 1                y =  =  = -1               z =  =  = 2

Jadi HP ={(1, -1, 2)}

e.  Sistem  Persamaan  Dua Variabel, Satu Linear Dan Satu Kuadrat

Bentuk umum:

y = ax + b y = px2 + qx + r

            dengan a, b, p, q, r ÎR

Secara umum, langkah-langkah penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas sebagai berikut :

1.  Substitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px² + qx + r, diperoleh :

ax + b                          = px² + qx + r

px² + qx – ax + r – b   = 0

px² + (q – a)x + (r – b) = 0      (merupakan persamaan dalam x)

2. Nilai-nilai x pada langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan y = ax + b.

Contoh:   Selesaikan sistem persamaan :

Jawab:    Dari x – y = 2 ® x = y + 2

                x = y + 2 substitusikan ke

Û (y + 2)² + y² = 20

Û y² + 4y + 4 + y² = 20

Û 2y² + 4y + 4 – 20 = 0

Û 2y² + 4y – 16 = 0

Û y² + 2y – 8 = 0

Û (y + 4)(y – 2) = 0

            Û y + 4 = 0 atau y - 2 = 0

            y = -4 atau y = 2

Untuk y = -4 ® x = -4 + 2 = -2

            y = 2  ® x = 2 + 2 = 4

Jadi HP = {(-2, -4),(4,2)}