differensial (maple)

Kita dapat menggunakan perintah Diff untuk menghitung turunan dari fungsi yang terdapat dalam Maple. Dengan terlebih dahulu menentukan variable tertentu yang akan menjadi fungsi variable differensiasi. Maple memungkinkan kita untuk melakukan turunan kedua, ketiga, dan seterusnya dengan menambahkan variabelnya sebanyak turunan yang diinginkan. Sekali lagi Diff akan menghasilkan turunan berbentuk fungsi, tetapi Diff (awal huruf besar) akan menulis ulang turunan dalam bentuk tulisan pretty print. Sekali lagi Maple adalah program yang case sensitive. Penulisan pada Maple adalah sebagai berikut.

>Diff (f(x), x); memberikan tulisan turunan pertama pretty print.

>diff (f(x), x); memberikan hasil turunan pertama.

>Diff (f(x), x)= diff (f2(x), x); menunjukkan keduanya sama.

>diff (f(x), x,x); menghitung hasil turunan yang kedua.

Contoh:

1)   Bukalah program Maple 9.5, ketiklah seperti di bawah ini untuk menampilkan persamaan fungsi.

 

2)   Tekan enter, maka akan muncul persamaan fungsi seperti di bawah ini.

 

3)   Untuk menampilkan tulisan turunan pertama dari fungsi di atas, klik differential expression, kemudian ganti huruf “d” pada kata “diff” dengan huruf “D”, dan ganti %f dan %x dengan f(x) dan x.

 

4)   Tekan enter, maka akan muncul tulisan turunan pertama.

 

5)   Untuk menampilkan hasil turunan pertama, klik diff expression, ganti %f dan %x dengan f(x) dan x, kemudian tekan enter.

 

6)   Untuk menampilkan tulisan turunan kedua, klik differential expression, kemudian ganti huruf “d” pada kata “diff” dengan huruf “D”, dan ganti %f dan %x dengan f(x) dan x serta tambahkan variable x di belakang x. Setelah itu, tekan enter.

 

7)   Untuk menampilkan hasil turunan kedua, klik diff expression, ganti %f dan %x dengan f(x) dan x, serta tambahkan variable x di belakang x. Setelah itu, tekan enter.

Mencari Maximum dan Minimum Fungsi dengan Maple

Dengan menggunakan konsep turunan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam selang interval tertentu dapat dicari. Sebelum membahas lebih lanjut tentang bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi, terlebih dahulu dibahas mengenai nilai kritis. Adapun definisi nilai kritis adalah sebagai berikut:

 “Nilai kritis c dari suatu fungsi f merupakan bilangan dalam domain f sedemikian hingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.”

Dalam Maple tersedia function untuk mencari nilai kritis suatu fungsi. Function tersebut tersedia dalam Calculus1 Student Package. Sintaksnya adalah

Ø  with(Student[Calculus1]):

Ø  CriticalPoints(fungsi,[interval], [option]);

Penggunaan parameter ‘interval’ pada perintah CriticalPoints() sifatnya optional. Parameter ini ditambahkan apabila diinginkan mencari nilai kritis pada suatu interval tertentu. Hasil nilai kritis dapat dinyatakan dalam bentuk floating point. Apabila hal ini diinginkan, maka tambahkan perintah ‘numeric = true’ pada bagian option. Secara default, nilai kritis yang ditampilkan dalam bentuk eksak.

Berikut ini akan diberikan contoh bagaimana menentukan nilai kritis suatu fungsi menggunakan Maple.

“Diberikan suatu fungsi f(x) = x^(3/4)*(x-7). Tentukan nilai kritis fungsi tersebut”.

Perintah Maplenya adalah:

Ø  With (Student[Calculus1]):

Ø  f := x -> x^(3/4)*(x-7);

Ø  CriticalPoints(f(x));

Dari perintah di atas, akan diperoleh hasil [0, 3], artinya nilai kritisnya adalah x = 0 dan x = 3. Sedangkan perintah berikut ini digunakan untuk mencari nilai kritis f(x) di selang [1, 5]

Ø  f := x -> x^(3/4)*(x-7);

Ø  CriticalPoints(f(x), x=1..5);

dan hasilnya adalah [3], artinya nilai kritisnya hanya ada satu yaitu x = 3.

Setelah dijelaskan bagaimana mencari nilai kritis suatu fungsi, selanjutnya akan dibahas bagaimana mencari nilai minimum dan maksimum fungsi.

Secara teori, pencarian nilai maksimum dan minimum fungsi dapat dilakukan dengan metode selang tertutup. Metode ini menyatakan bahwa untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup [a, b] dilakukan dengan cara:

·      Dicari nilai fungsi pada nilai kritis f pada selang [a, b] atau mencari f(c) dengan c adalah nilai kritisnya.

·      Dicari nilai fungsi pada titik ujung selang (dalam hal ini pada a dan b) atau mencari f(a) dan f(b)

·      Nilai maksimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terbesar dari langkah 1 dan 2. Sedangkan nilai minimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terkecil dari langkah 1 dan 2.

Kemudian kita akan menerapkan teori di atas pada Maple untuk mencari nilai maksimum dan minimum fungsi. Untuk singkatnya, kita akan ambil contoh saja.

“Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 1 pada selang [-1/2, 4]“.

Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah mencari nilai-nilai kritisnya terlebih dahulu.

Ø with(Student[Calculus1]):

Ø f := (x) -> x^3-3*x^2+1;

Ø CriticalPoints(f(x), x = -1/2..4);

Dari perintah di atas, akan diperoleh nilai kritisnya adalah x = 0 dan x = 2.

Selanjutnya akan dicari nilai f(0) dan f(2), serta nilai f(-1/2) dan f(4).

Ø f(0);

Ø f(2);

Ø f(-1/2);

Perhitungan Limit dengan Maple

Sintaks perintah limit() untuk mencari limit fungsi f(x) dengan x mendekati a adalah sebagai berikut:

Ø  limit(f(x), x = a);

Penghitungan nilai limit dengan limit() dapat pula ditentukan dari arah mana x mendekati a, dari kanan atau kiri. Untuk mencari limit fungsi f(x) dengan x mendekati a dari kiri, sintaksnya:

Ø  limit(f(x), x = a, left);

Sedangkan sintaks untuk mencari nilai limit f(x) dengan mendekati a dari kanan, sintaksnya:

Ø  limit(f(x), x = a, right);

Sebagai contoh, misalkan akan dicari nilai limit f(x) = x^2 - 1, dengan x mendekati 1. Perintahnya adalah

Ø  f := x -> x^2 - 1;

Ø  limit(f(x), x = 1);

Bagaimana dengan limit f(x) = 2x - 1 (jika x > 0 ) dan -x (jika x <= 0), untuk x mendekati 0? Adakah nilai limitnya ? Jika tidak ada, tunjukkan !

Untuk menjawabnya, maka Anda harus ingat konsep limit, yaitu suatu fungsi memiliki nilai limit di titik tertentu apabila nilai limit kiri dan kanan fungsi di titik tersebut sama. Selanjutnya kita cek nilai masing-masing limit kiri dan kanan.

Ø  f := (x) -> piecewise(x>0, 2*x-1, x<=0, -x);

Ø  limit(f(x), x = 0, left);

Dari hasil penghitungan limit kiri diperoleh nilai 0. Sedangkan limit kanannya adalah

Ø  limit(f(x), x = 0, right);

yang menghasilkan -1. Dari kedua nilai tampak hasilnya berbeda, sehingga disimpulkan fungsi tersebut tidak memiliki limit di titik x = 0.

Selanjutnya bagaimana dengan limit di titik yang menuju tak hingga (infinity)? Ya… caranya sama, gunakan perintah

Ø  limit(f(x), x = infinity);

Menggambar Grafik 3 Dimensi dengan Maple

Pada artikel yang lain telah dibahas tentang cara membuat grafik fungsi 2 dimensi dengan Maple. Untuk artikel ini akan dibahas cara membuat grafik fungsi 3 dimensi.
Diberikan sebuah fungsi z = f(x, y). Apabila fungsi tersebut akan dibuat grafik 3 dimensinya pada domain [a, b] untuk x dan [c, d] untuk y, maka sintaks perintahnya adalah:

Ø  plot3d(f(x, y), x=a..b, y=c..d);

Sebagai contoh, akan dibuat grafik dari fungsi f(x, y) = sin(x) cos(y) pada [0, 5] untuk x dan [-3, 6] untuk y.

Ø  plot3d(sin(x)*cos(y), x=0..5, y=-3..6);
atau

Ø  f := (x, y) -> sin(x)*cos(y);

Ø  plot3d(f(x, y), x=0..5, y=-3..6);

Secara default, grafik 3 dimensi yang dihasilkan tidak disertai dengan gambar sumbu-sumbunya. Untuk menampilkan sumbunya, tambahkan option axes=boxed pada plot3d();
> plot3d(f(x, y), x=0..5, y=-3..6, axes=boxed);
Sebagai latihan, silakan Anda buat grafik dari fungsi-fungsi berikut ini:

1)      f(x, y) = 2 sin(x + y) cos(x), pada [0, 3Pi] untuk x dan [0, 2Pi] untuk y

2)      f(x, y) = 2*x^2 + y^2 + 3xy, pada [-3/5, 5] untuk x dan [-3/5, 5] untuk y

Mencari Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Maple

Dengan menggunakan konsep turunan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam selang interval tertentu dapat dicari. Sebelum membahas lebih lanjut tentang bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi, terlebih dahulu dibahas mengenai nilai kritis. Adapun definisi nilai kritis adalah sebagai berikut:

“Nilai kritis c dari suatu fungsi f merupakan bilangan dalam domain f sedemikian hingga :

f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.”

Dalam Maple tersedia function untuk mencari nilai kritis suatu fungsi. Function tersebut tersedia dalam Calculus1 Student Package. Sintaksnya adalah

Ø  with(Student[Calculus1]):

Ø  CriticalPoints(fungsi,[interval], [option]);

Penggunaan parameter ‘interval’ pada perintah CriticalPoints() sifatnya optional. Parameter ini ditambahkan apabila diinginkan mencari nilai kritis pada suatu interval tertentu. Hasil nilai kritis dapat dinyatakan dalam bentuk floating point. Apabila hal ini diinginkan, maka tambahkan perintah ‘numeric = true’ pada bagian option. Secara default, nilai kritis yang ditampilkan dalam bentuk eksak.

Berikut ini akan diberikan contoh bagaimana menentukan nilai kritis suatu fungsi menggunakan Maple.

“Diberikan suatu fungsi f(x) = x^(3/4)*(x-7). Tentukan nilai kritis fungsi tersebut”.
Perintah Maplenya adalah:

Ø  with(Student[Calculus1]):

Ø  f := x -> x^(3/4)*(x-7);

Ø  CriticalPoints(f(x));

Dari perintah di atas, akan diperoleh hasil [0, 3], artinya nilai kritisnya adalah x = 0 dan x = 3.

Sedangkan perintah berikut ini digunakan untuk mencari nilai kritis f(x) di selang [1, 5]

Ø  f := x -> x^(3/4)*(x-7);

Ø  CriticalPoints(f(x), x=1..5);

dan hasilnya adalah [3], artinya nilai kritisnya hanya ada satu yaitu x = 3.
Setelah dijelaskan bagaimana mencari nilai kritis suatu fungsi, selanjutnya akan dibahas bagaimana mencari nilai minimum dan maksimum fungsi.

Secara teori, pencarian nilai maksimum dan minimum fungsi dapat dilakukan dengan metode selang tertutup. Metode ini menyatakan bahwa untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup [a, b] dilakukan dengan cara:

1)      Dicari nilai fungsi pada nilai kritis f pada selang [a, b] atau mencari f(c) dengan c adalah nilai kritisnya. 

2)      Dicari nilai fungsi pada titik ujung selang (dalam hal ini pada a dan b) atau mencari f(a) dan f(b) 

3)      Nilai maksimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terbesar dari langkah 1 dan 2. Sedangkan nilai minimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terkecil dari langkah 1 dan 2. 

Kemudian kita akan menerapkan teori di atas pada Maple untuk mencari nilai maksimum dan minimum fungsi. Untuk singkatnya, kita akan ambil contoh saja.

“Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 pada selang [-1/2, 4]“.
Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah mencari nilai-nilai kritisnya terlebih dahulu.

Ø  with(Student[Calculus1]):

Ø  f := (x) -> x^3-3*x^2+1;

Ø  CriticalPoints(f(x), x = -1/2..4);

Dari perintah di atas, akan diperoleh nilai kritisnya adalah x = 0 dan x = 2.
Selanjutnya akan dicari nilai f(0) dan f(2), serta nilai f(-1/2) dan f(4).

Ø  f(0);

Ø  f(2);

Ø   f(-1/2);